Definición de vectores

Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:

Origen

O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Módulo

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección

Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Por ello, al eje de las X, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Del mismo modo, al eje Y, le corresponderá el vector unitario o también denominado .

Finalmente, al eje Z, le dejaremos corresponder el vector unitario o también denominado .

Por tanto, obtendríamos un eje de coordenadas cartesianas de la siguiente forma:

Magnitudes Escalares

Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:

Masa

Temperatura

Presión

Densidad

Magnitudes vectoriales

Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.

Vector

Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:

• Un origen o punto de aplicación: A.
• Un extremo: B.
• Una dirección: la de la recta que lo contiene.
• Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.
• Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.

Vectores iguales

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.

Vector libre

Un vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.

Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianos

a+b=(a_xi+a_yj+ a_zk)+(b_xi+b_yj+ b_zk)=(a_x+b_x)i+(a_y +b_y)j+(a_z+b_z)k

Propiedades

Conmutativa: a+b=b+a

Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)

Elemento Neutro: a+0=a

Elemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0

Vectores unitarios y componentes de un vector

Cualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.

Si consideramos ahora sobre cada eje un vector, aplicado en el origen, cuyo sentido es positivo y cuyo módulo consideramos como unidad de longitudes, podemos sustituir cada uno de los sumandos de la expresión anterior por el producto de un escalar por el correspondiente vector unidad.

De ese modo,

Los escalares , y se denominan componentes del vector y se representan por:

Los vectores son los vectores unitarios y suelen representarse respectivamente por i, j, y k.

También puede representarse de la siguiente forma:

Suma y resta de vectores

La suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:

Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.

Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.

Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.

Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.

Suma de Vectores

La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.

Procedimiento Gráfico

Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:

Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

Método Algebraico para la Suma de vectores

Dados tres vectores

La expresión correspondiente al vector suma es:

o bien

siendo, por tanto,

La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:

Conmutativa

a + b = b + a

Asociativa

(a + b) + c = a + (b + c)

Elemento neutro o vector 0

a + 0 = 0 + a = a

Elemento simétrico u opuesto a'

a + a' = a' + a = 0

a' = -a

Producto de un vector por un escalar

El resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características :

1.- Tiene la misma dirección que v.
2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.
3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo).

Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.

Ejemplo : Dado el vector v de componentes : v_xi + v_yj + v_zk, el producto 3 · v = 3 · v_xi + 3 · v_yj + 3 · v_zk.

La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar.

Ejemplo :

Propiedades

El producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:

1.- Conmutativa: k · v = v · k.
2.- Distributiva: k (v + u) = (k · v ) + (k · u).
3.- Elemento Neutro: 1 · v = v.
4.- Elemento Simétrico: -1 · v = - v.

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:

r = r_xi + r_yj + r_zk
v = v_xi + v_yj + v_zk

teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :

i · i = j · j = k · k = 1
i · j = i · k = j · k = 0

el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:

r · v = r_x· v_x + r_y · v_y+ r_z · v_z

Esta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :

r · v = |r| · |v| · cos (r, v)

Propiedades

Conmutativa : r · v = v · r
Distributiva : r · ( v + u ) = r · v + r · u
Asociativa : ( k · r ) · v = k · ( r · v ) = r · ( k · v ) siendo k escalar.

Además :

1.- r · r = 0 si, y sólo sí r = 0.
2.- Si r y v <> 0 y r · v = 0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º = 0).
3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.

Ejemplo :

Proyección ortogonal (r_v) de r sobre v

rv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| · r_v

Ejemplo :

Calcular el producto escalar de los vectores r =5 i - 3 j + 2 k y v = -2 i + j + 3 k. Hallar el ángulo que forman.

Primero hallamos el producto escalar de los vectores :

r · v = 5 · (-2) + (-3) · 1 + 2 · 3 = -7

Ahora calculamos el angulo que forman;

sabemos que :

como ya calculamos r · v, nos queda que hallar el producto de sus módulos para poder realizar el cociente:

|r| · |v| = 22.17.

Entonces

y obtenemos que el ángulo entre los vectores es = 108.06º.

Aplicación: ángulo entre dos vectores

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores es por definición un escalar.

Propiedades:

Podemos usar ahora el producto escalar para encontrar el ángulo de los vectores a y b:

Con lo que deducimos que:

• El cos dará siempre entre 0 y 1
• El producto escalar varía como máximo entre el y 0
• El cos nos dice si los vectores son paralelos o perpendiculares

Si cos de a y b = 0 vectores perpendiculares.

Si cos de a y b <> 0 vectores perpendiculares.

En este caso, , podemos sacar como conclusión que a = 0 ó b = 0, o bien que a y b son mutuamente perpendiculares.

Producto vectorial

El producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,

Se escribe . Por tanto:

donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.

Propiedades:

Módulo de un vector

Un vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo.

Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:

Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.

Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:

y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es: